Análise combinatória

Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercícios que são resolvidos utilizando análise combinatória.

Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória.

Princípio de contagem

O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer. 

Exemplos:

1) Quantos são os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5?

Como o zero à esquerda de um número não é significativo, para que tenhamos um número natural com dois algarismos ele deve começar com um dígito de 1 a 9, temos portanto 9 possibilidades.

Para que o número seja um múltiplo de 5, o mesmo deve terminar em 0 ou 5, portanto temos apenas 2 possibilidades.

A multiplicação de 9 por 2 nos dará o resultado desejado.

Logo:

• São 18 os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5.

2) Eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares de meias. De quantas maneiras poderei me calçar utilizando um par de meias e um de sapatos?

Pelo princípio fundamental da contagem temos que multiplicar 4, que é o número de elementos do primeiro conjunto, por 10 que corresponde ao número de elementos do segundo conjunto.

Portanto:

• Poderei me calçar de 40 maneiras diferentes.

3) São quantos os números ímpares com três algarismos, que não possuem dígitos repetidos e que de trás para frente também são ímpares?

Os números devem ser ímpares, temos então 5 possibilidades para o último algarismo.

A história do "de trás para frente", em outras palavras quer dizer que o primeiro algarismo também é ímpar. Como um dígito ímpar já foi utilizado na última posição, temos então apenas 4 disponíveis para a primeira posição.

Para o dígito central temos apenas 8 possibilidades, pois dois dígitos ímpares já foram utilizados.

Multiplicando 4 por 8 e por 5 obtemos 160.

Assim sendo:

• São 160 os números ímpares que satisfazem a todas estas condições.

Permutação Simples

A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos, damos o nome de permutação simples.

Neste caso o agrupamento de livros (português, matemática, história, geografia), difere do agrupamento (matemática, história, português, geografia), pois embora os elementos de ambos os grupos sejam os mesmos, há mudança no posicionamento de ao menos um dos seus elementos.

Fórmula da Permutação Simples

Segundo o princípio fundamental da contagem vimos que o número de agrupamentos possíveis deste exemplo era dado por:

4 . 3 . 2 . 1 = 24

Na página sobre fatoriais vimos que 4 . 3 . 2 . 1 é igual a 4!, então se chamarmos de P_n a permutação simples de n elementos distintos, podemos calculá-la através da seguinte fórmula:

P_n = n!

Resolvendo o exemplo com o uso da fórmula temos:

P4 = 4! → P4 = 4.3.2.1 → P4 = 24


Exemplos:

1) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ORDEM?

Um anagrama é uma palavra ou frase formada com todas as letras de uma outra palavra ou frase. Normalmente as palavras ou frases resultantes são sem significado, como já era de se esperar.

Como a palavra ORDEM possui 5 letras distintas, devemos calcular o número de permutações calculando P₅. Temos então:

P₅ = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Portanto:

• O número de anagramas que podemos formar a partir da palavra ORDEM é igual 120.

2) Na fila do caixa de uma padaria estão três pessoas. De quantas maneiras elas podem estar posicionadas nesta fila?

Temos que calcular P₃, então:

P₃ = 3! = 3 . 2 . 1 = 6

Logo:

• As três pessoas podem estar posicionas de seis maneiras diferentes na fila.

3) Quantos são os anagramas que podemos formar a partir das letras da palavra ERVILHAS, sendo que eles comecem com a letra E e terminem com vogal?

Como na primeira posição sempre teremos a letra E, o número de possibilidades nesta posição é igual a 1, podemos até dizer que é igual a P₁.

Para a última posição temos disponíveis as letras I e A, pois a letra E já está sendo utilizada no começo, então para a oitava letra temos que calcular P₂:

P₂ = 2! = 2 . 1 = 2 mais posições temos 6 letras disponíveis, calculemos então P₆:

P₆ = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

Multiplicando tudo:

1 . 720 . 2 = 1440

Então:

• A partir da palavra ERVILHAS podemos formar 1440 anagramas que comecem com a letra E e terminem em vogal.

Bibliografia:

http://www.brasilescola.com/matematica/analise-combinatoria.htm
http://www.matematicadidatica.com.br/PermutacaoSimples.aspx